Propiedades Del Valor
Esperado (Esperanza)
Las propiedades del valor esperado son validas tanto para
variables discretas como continuas, aunque los ejemplos en las diferentes
literaturas se suelen realizar con variables discretas; entre las diferentes variables
citaremos del valor esperamos citaremos
2:
1) El
valor esperado de una contantes en igual a ella misma E(C)=C siendo C una contante, a continuación se resolverán
2 ejemplos para una mayor comprensión:
ü
C = 7 ; E(C)
= 7
ü
C = 4
; E(C )= 4
2) Si
X e Y son variables aleatorias se cumple lo
siguiente: EX + Y) = E(X) +
E(Y) Esto indica que el valor esperado de la suma de 2 variables
aleatorias es igual a la suma es igual a la suma de sus valores esperados.
ü
Sean X e Y
dos variables aleatorias cuyos valores esperados son E(X) = 4
y E(Y) = 7
Calcular E(3X + 5Y + 4)
E(3·4 + 5·7 +
4) = 12 + 35 +
4 = 51
ü
Sean X e Y
dos variables aleatorias cuyos valores esperados son E(X) = 6
y E(Y) = 2
Calcular E(4X + 7Y + 1)
E(4·6 + 7·2 +
1) = 24 + 14 +
1 = 39
3) El
valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria, es
igual al producto de la constante por el valor esperado de la variable: E(C · X)
= C · E(X) a continuación se resolverán 2 ejemplos para una mayor comprensión:
ü
E(3· X) =
3 · E(X)
E(X) = 1,50
3 · E(X) = 3 · 1,50 = 4,50
ü
E(4 · X) =
4 · E(X)
E(X) = 2,72
4 · E(X) = 4 · 2,72 = 10,88
4) Si X es
una variable aleatoria e Y es una
variable aleatoria, el valor esperada del producto de las variables es igual al
producto de los valores esperados, solamente en el caso de que las variables X e Y sean independientes. E(X ·
Y) = E(X) · E(Y).
ü
E(1,88 · 3,42) = E(1,88) · E(3,42) E(X) = 1,88 Y E(Y) = 3,42
= 6,4296
ü
E(1,62 · 1,42) = E(1,62) · E(1,42) E(X) = 1,62 Y E(Y) = 1,42
= 2,3004
Propiedades De La Varianza.
La varianza tiene las siguientes propiedades:
1) V(C)
= 0 La varianza de una constante es cero, la varianza mide la dispersión,
evidentemente una constante no puede
tener dispersión y su varianza es cero.
ü
Siendo el valor de la contante (C = 5)
V(C) = 0
V(5) = 0
ü
Siendo el valor de la constante (C = 8)
V(C) = 0
V(8) = 0
2) V(CX)
= C2 V(X) La varianza del producto de una constante por una
variable, es igual a la constante al
cuadrado por la varianza de la variable.
ü
V(C·X) = C2
V(X) V
(X)=9 ; C=7
= 72 · V(9)
= 49 · V(9)
= 441
ü
V(C·X) =
C2 V(X) V(X)=2
; C=4
= 42 · V(2)
= 16 · V(2)
= 32
3) Si X e Y son variables aleatorias cualquieras :
V(X + Y) = V(X) + V(Y) +
2CoV(X,Y)
Teniendo en cuenta que la covarianza de dos
variables independientes es igual a cero. Si X e Y son dos variables
independientes Cov(X,Y) = 0 por lo
tanto:
V(X + Y) = V(X) + V(Y)
La varianza de la suma de dos variables
independientes es igual a la suma de las varianzas.
ü
Teniendo los valores de V(X) = 2,87 ; V(Y) = 4,12
V(X + Y) = V(X) + V(Y) +
2CoV(X,Y)
V(X + Y) = 2,87 +
4,12 + 2.0
V(X + Y) = 6,99
ü
Teniendo los valores de V(X) = 3,87 ; V(Y) = 4,57
V(X + Y) = V(X) + V(Y) +
2CoV(X,Y)
V(X + Y) = 3,87 +
4,57 + 2.0
V(X + Y) = 8,44
4) Si X e Y son variables aleatorias cualquieras :
V(X + Y) = V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)
ü
Teniendo los valores de V(X) =3,1; V(Y) = 4,2
V(X + Y) = V(X) + V(Y) -
2CoV(X,Y)
V(X + Y) = 3,1 +
4,2 - 2.0
V(X + Y) = 7,3
ü
Teniendo los valores de V(X) = 3,5 ; V(Y) = 4,5
V(X + Y) = V(X) + V(Y) -
2CoV(X,Y)
V(X + Y) = 3,5 +
4,5 - 2.0
V(X + Y) = 8
Propiedades de la Desviación Estándar.
En la desviación estándar se cumplen las
mismas propiedades que en la varianza, con la única diferencia es que se
utiliza raíz cuadrada para resolver las mismas.
1) DE(C)
=√ 0 La Desviación
Estándar de una constante es cero, puesto a que se hace en base a la
varianza, la varianza mide la
dispersión, evidentemente una constante
no puede tener dispersión.
ü
Siendo el valor de la contante (C = 5)
DE(C) = √0
DE(5) = 0
ü
Siendo el valor de la constante (C = 8)
DE(C) = √0
DE(8) = 0
2) V(CX)
= √C2 V(X) La
raíz cuadrada de la varianza del producto de una constante por una variable, es
igual a la raíz cuadrada de la constante
al cuadrado por la varianza de la variable.
ü
V(C·X) = √
C2 V(X) V
(X)=9 ; C=7
=√ 72 · V(9)
= √49 · V(9)
=√ 441 = 21
ü
V(C·X) = √C2 V(X) V(X)=2
; C=4
= √42 · V(2)
=√ 16 · V(2)
= √32 = 5,6568
3) Si X e Y son variables aleatorias cualquieras :
DE(X + Y) =√
V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
Teniendo en cuenta que la covarianza de dos
variables independientes es igual a cero. Si X e Y son dos variables
independientes Cov(X,Y) = 0 por lo
tanto:
DE(X + Y) = √
V(X) + V(Y)
La desviación estándar es la raíz cuadrada
de la varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de
las varianzas.
ü
Teniendo los valores de V(X) = 2,87 ; V(Y) = 4,12
DE(X + Y) = √V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
DE(X + Y) = √2,87
+ 4,12 + 2.0
DE(X + Y) =√
6,99 = 2,6438
ü
Teniendo los valores de V(X) = 3,87 ; V(Y) = 4,57
DE(X + Y) = √V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
DE(X + Y) =√
3,87 + 4,57 + 2.0
DE(X + Y) = √8,44
= 2,9051
4) Si X e Y son variables aleatorias cualquieras :
V(X + Y) = √V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)
ü
Teniendo los valores de V(X) =3,1; V(Y) = 4,2
V(X + Y) = √V(X) + V(Y) -
2CoV(X,Y)
V(X + Y) = √3,1 +
4,2 - 2.0
V(X + Y) = √ 7,3 = 2,70
ü
Teniendo los valores de V(X) = 3,5 ; V(Y) = 4,5
V(X + Y) = √V(X) + V(Y) -
2CoV(X,Y)
V(X + Y) = √3,5 +
4,5 + 2.0
V(X +
Y) = √8 = 2,8284
No hay comentarios.:
Publicar un comentario